一、幂律的比特币
比特币更像是一个城市和一个有机体，而不是一种金融资产。这一论断来自于比特币的幂律行为。如果你深入探索比特币的世界，就会建立起比特币有关幂律的价格行为的几何直觉。
当然，这种直觉还不够，我们需要进一步建立起一个完整的比特币行为理论，可以以科学、连贯和可证伪的方式解释所有主要的链上参数。这就是本文试图探讨的：比特币幂律理论。
比特币的运作被幂律描绘的理由来自以下几点：
1.最初，比特币被中本聪圈子的第一批用户接受和采用。“价值”（现在是可以24/7在线检查的“价格”）随着用户数的平方（网络效应）而增加（经验测量值更接近是1.95，但为了简单起见，这里四舍五入为整数）——这是对称为Metcalfe定律的理论结果的确认。Metcalfe定律认为，如果网络中每个用户都能与其他所有用户建立连接，那么当网络中的用户数量为N时，理论上的连接数量为N(N-1)/2，即接近于N2的规模。
2.比特币价格上涨带来了更多的资源，特别是挖矿能力。价格的上涨减少了挖矿区块的时间，但由于“难度调整”，挖矿区块所需的哈希率会迭代改变——因为挖矿几乎无利可图，所以补偿机制需要与价格上涨成正比，上涨的价格P=用户2和奖励本身，因此从逻辑和维度上讲，哈希率=价格2（这也与经验相符：幂的经验值接近2，以及价格=哈希率^1/2）。在这里，哈希率的物理意义是用来衡量网络处理能力、安全性、挖矿难度及能源消耗的一个综合指标。
3.哈希率的提高为系统带来了更多的安全性，从而吸引了更多的用户。尽管一些人购买比特币不是因为“安全”，但如果它不是一个安全的系统，显然没有人会在它上面投入巨大的精力。系统的安全性直接或间接地带来了新用户。
4.比特币不同于常见的S曲线类型的增长（比如电视、冰箱、汽车、手机的增长曲线），它遵t=3的时间幂率增长。这里的区别在于，如果有显著的抑制机制，幂律将更显著。就比特币而言，任何类型的投资的“难度调整”和风险都是这种抑制机制，这一理解与经验观察相符。
综上，我们得到了以下幂律模型关系：用户=t3，价格=用户2=（t3）2=t?，哈希率=价格2=（t?）2=t12。以上循环无限重复并创造泡沫——泡沫是这个循环中重要且必要的组成部分。
更进一步的，我们让这个循环运转起来，哈希率现在在无限循环中持续影响哈希率。因此，采用幂律预测和控制比特币的行为就是最令人惊奇的发现——在现实中，单个比特币相空间中观察到的3个参数几乎完全符合我们的模型：
二、幂律预测
比特币的幂率理论，为我们打开了一扇窗——解释和预测比特币的长期行为的能力，这产生了一些有意思的推论。
这当中最令人惊讶的，也是经常被大多数普通比特币投资者所误解的，就是尺度的不变性（或利用分型来理解“分形与幂律”反身性的贴现套利解释，“野兽之刃”周期、量化与分形交易原理）。
尺度不变性是受幂律支配的系统的典型特征。
我们可以精确地预测，达到100万BTC大约需要10年时间。尽管这听起来令人难以置信，但从长远来看，关于用户、价格、哈希率的核心参数都是可以预测的——比特币的规模已经遵循幂律增长了9个数量级，我们不应该惊讶于它继续遵循幂律再增长1-2个数量级。
此外，尺度不变性还使我们能够理解事件的作用和重要性，例如大型机构的ETF最近对比特币系统的投资流入——尺度不变性告诉我们，这些事件不会显着影响比特币的价格轨迹，而是系统继续延续其尺度不变的增长——这是该理论最令人震惊的预测之一。
比特币的长远未来我们无法预测，但在目前的幂律机制作用尚未被打破的前提下，该理论认为比特币价格的路径是宿命化的——除非我们经历灾难性事件，否则它不会改变，特别是在未来1-2个数量级的扩张期——这只是比特币整体历史增长的一小部分。
如果比特币在未来15年内依旧是尺度不变的，那么它可能会继续存续10年进入下一个数量级——这里，我们可以寄望Lindy效应发挥作用（“人性之光”低估的索罗斯与神话的巴菲特）。
换一种说法，我们认为，比特币的泡沫与稀缺性无关——这更像是摩尔定律。
摩尔定律认为，每18个月芯片的计算速度和集成度会提高一倍。计算能力不变的话，芯片的价格和体积缩减一倍。目前人类已经经历了38个摩尔周期，却依然没有达到发展的极限。
假如汽车工业能像计算机那样遵循摩尔定律发展的话，那么今天你大概可以用10元钱购买劳斯莱斯，加一升汽油能跑几百万公里，它产生的动力可以驱动伊丽莎白女王二号邮轮。
中本聪一定知道摩尔定律的周期。他声称计算能力每2年翻一番，“难度调整”机制保证了你需要花费大量的金钱和精力来获得一些额外的比特币。
半导体能力的极限理论上只受制于普朗克常量的大小—宇宙最小的尺度单位，而当前人类所掌控的尺度极限仍然比普朗克常量还高出了17个量级，前途光明。
但是摩尔定律给了你一个不公平的优势——在4年内，你将拥有4倍的哈希算力，基本上与4年前的机器（大致）的能源成本相同。由于损耗，你无论如何都需要更新设备，而机器的成本只是运营成本的一部分。
从逻辑上和经验上讲，由于价格（或一般奖励）=哈希率^1/2。所以4倍的哈希率只能带来2倍的好处。但是，由于损耗和成本，这一切都是为了让矿工处于盈利的边缘——永远都享受不到免费的午餐。这个定价机制太完美了，不可能是偶然的——或许中本聪最早就是这样计划的。
4年，而不是2年或奖励的持续减少，是一个天才的想法，因为芯片行业需要时间来更新和进步，这也让矿工有时间计划更新并让设备自然折旧。这一设定非常务实，中本聪总是能切中要害。
三、幂律回归
这张绝美的图片，展示了局部价格迅速上涨的形态——几乎呈指数级增长。
然而，指数增长是不可持续的，一旦它阶段性超调，便会回归幂律形态：
对于幂律增长来说，增长的速率随时间增加，但增加的速度慢于指数增长。短期内的指数增长的图形几乎是对称的——价格的下降和上涨的速度一样快（有时更快），泡沫破灭后，图形又回归幂律形态的长期趋势——短期的指数增长归于泡沫，而长期的幂律形态是比特币自有特性决定的。
这就像物种的突变一样，进化是突增的，而不是遵循达尔文设想的缓慢但稳定的路径。对于物种灭绝或新物种出现，没有活动的长期进化停滞被间歇性的突变爆发所打断。
类似的，泡沫也是比特币故事的一部分——它们不是整体幂律增长的主要背景，但短期的指数型噪音也是市场的重要组成部分之一。
总的来说，比特币的幂律与稳定的通货膨胀一起工作——如果价格随通货膨胀率快速上升，那么问题不在于幂律——幂律是独立的背景，而在于通胀本身。这就像牛顿告诉我们重力起作用，使物体下落，但你却在想飓风来了怎么办？——答案是，一头牛可以在飓风中飞翔，但这并不违反万有引力定律。
D.Sornette对此现象有着相似的立场（“龙王or黑天鹅”可预测的金融危机），其对比特币的泡沫行为也有精彩的表述：
S2F（Stock-to-Flow）价格模型基于稀缺性来预测比特币价格，即比较存量（Stock）于产量（Flow）的比率来评估资产的稀缺性，更具体地说，比特币的产量四年减半机制，对稀缺性的影响相当显著。然而，稀缺性在我们这个全新的幂律理论中没有任何作用——在比特币这个有趣的市场里，稀缺性也没有任何解释力。S2F充满了数学和概念上的错误。
新的共识总是被不断地发现，事实上，更多的人都独立发现了这一新的幂律原则：比如哈佛大学天体物理学家StephenPerrenod引入了Lindy效应，并建立了自己的FSM未来供应估值模型；而著名的加密货币分析师NicCarter也指出，Lindy效应（幂律）适用于比特币。
比特币ATM的数量在5年内增长了20多倍，相当于幂律指数=6
Lindy模型是基于现象学的——它没有确切的潜在的动机。Lindy效应反映了比特币生态系统的增长和比特币的长寿特点，并得到了其反脆弱性的支持。它隐含地反映了一个不断延长的区块链的安全性的提高，其背后的哈希算力迅速增加。
四、奇点在哪里？
每一个人都知道，比特币不可能永远攀升。
病毒的生长通常在爆发的早期和中期遵循指数模式，而不是幂律，总有一天，它的繁殖受到外部环境的制约，当出现遏制机制时，病毒感染就会成为幂律。
这就是为什么病毒的指数传播不会无限期地持续下去——通过免疫、行为改变、疫苗接种，物理隔离等。
我们不知道这个奇点何时到来，因为我们不知道有多少未来价值还会被转移到比特币中，在一个极端的例子里，如果我们可以开始开采小行星，星际移民，或发明纳米技术，开创一个富足和财富的新时代，这样比特币或许还可以上涨至少几个世纪。在此值得一提的是，Taleb也给出了比特币命运的下半场的预测，略偏悲观（“货币与泡沫”塔勒布谈比特币，命定的败局）。
当前比特币的幂律模型不受泡沫的影响，它简单又好用，我们也没有迫切的压力去对其进行调参。
工作量证明带来的挖矿难度调整，Metcalfe定律，社交信息的网络传播和用户间的互动，简单的几条规则，我们就见证了比特币世界里幂律行为的真实游戏方式。简单的因果构件，就能够预测其长期行为。
据此，我们将比特币作为一个自然过程进行研究，就像物理学那样。而不用考虑复杂的反身性机制，或价格的自相关特点。实际上，已经有人在这样进行研究了：
自然有人会问，如果美元出现恶性通货膨胀会怎样？模型会爆炸吗？
但我们应该建立对比特币的持续信心——我们在本文中观察到的幂律，是比特币的本质问题，它应该独立于通胀本身。我们必须记住，比特币不是我们长久以来，那些通用的经济模型体系的产物。
在比特币的世界里，任何形式的瞬时操纵都可以使价格上涨或下跌——但它不能持续下去，总的来说，幂律的趋势将最终得到所有人的尊重。
对于比特币幂律形成所建立的基本原则，至少在短期内，外部因素很难打破，即便是经济危机也不足挂齿。更极端一些，全球核战争会打破幂律机制吗？如果这种情况发生，那就真的是一次史无前例千载难逢的实验观察，不管人类的最终命运如何，至少我们能窥探到有关幂律原则的宇宙终极秘密。
