任何三角形重心、外心与垂心共线，称为欧拉线，那欧拉线长度是多少呢，今天来求一下。
如下图，若△ABC为锐角三角形，HO为欧拉线，连接AH交BC于E，则AE⊥BC，作OD⊥BC于D，则D为BC中点。作OF⊥AE于F，连接OA、OB、OC，则有AO=BO=CO=R，DO=EF=RcosA(圆心角与圆周角2倍关系)，HA=2DO=2EF(可以看以前发的关于欧拉线的文章，不再赘述)，其中R为△ABC外接圆半径。
OF2=AO2-AF2=AO2-(AE-EF)2
=R2-(AB·sinB-RcosA)2
=R2-(2RsinCsinB+Rcos(B+C))2
=R2-(RsinCsinB+RcosBcocC)2
=R2-R2cos2(B-C)
=R2sin2(B-C)
HF=AE-AH-EF=AE-3DO
=2RsinCsinB-3RcosA
HO2=OF2+HF2
=R2sin2(B-C)+R2(2sinCsinB-3cosA)2
=R2(1-8cosAcosBcosC)
所以HO=R√(1-8cosAcosBcosC)
若△ABC为钝角三角形，如下图，∠A＞90°，HO是欧拉线，连接AH交BC于E，则有AE⊥BC，其余辅助线同上，与锐角三角形不同的是，∠COD=180°-∠A，同样DO=EF，ED=FO，DO=-RcosA。
HF=HA+AE+EF=AE+3OD
=AB·sinB-3RcosA
=2RsinCsinB-3RcosA
BE=AB·cosB=2RsinCcosB
ED=BE-BD=BC/2-2RsinCcosB
=RsinA-2RsinCcosB
HO2=HF2+ED2(因为ED=FO)
=R2(2sinCsinB-3cosA)+R2(sinA-2sinCcosB)
=R2(1+8cos2A-8cosAsinBsinC)
=R2(1+8cosA(cosA-sinBsinC))
=R2(1-8cosA(-cos(B+C)-sinBsinC))
=R2(1-8cosAcosBcosC)
所以HO=R√(1-8cosAcosBcosC)
若△ABC为直角三角形，如∠B=90°，B点即为H点，AC中点即为O点，HO=R。
以上公式仍然适用，cosB=cos90°=0，代入公式得HO=R。
又如△ABC为正三角形，三心合一，所以有HO=0，公式仍成立。
HO=R√(1-8cosAcosBcosC)
=R√(1-8cos60°cos60°cos60°)
=R√(1-1)=0。
